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[円周角の次元拡張（失敗した道のり）]

今回のお話は、標題の課題を解決するのに、どうして30年近くもかかってしまったのか?!
その舞台裏を述べてみましょう。

その大きな原因は、円周角の定理の3次元拡張をしたとき、
円周角が3次元での立体角に対応するのではないかという直感でした。
これをずっと追求してきたためで、解決しない道を歩んでいたのでした。

答えは、前回の説明にあるように3次元に拡張したときには円錐の頂角
（円錐の中心線を含む平面で円錐を切った時の稜線の角度）に対応するのです。
（すなわち、立体角ではなく、2次元の角度になっている）

では、では、3次元で考えて固定円と空間の点Pが作る錐体（正確には楕円錐体になる）
の立体角が一定な点Pの軌跡の曲面は一体、なんだろうか？これが球面ではないことを、
長い間調べ分かったのですが。私が、直感するのは東京ドームのような形状ではないかと
思っております。その点は、次の点からです。

まず、
（1）点Pが上の条件を満足する点であれば、
この点に対し固定円の中心軸を中心として回転した円のすべては上の条件を満足する。
すなわち、固定円の中心軸を中心に円回転した形状である。

（2）固定円の直上の点をPoとするとき、斜めの方向の点Pｘと、
直円錐を差し込んだ時の頂点 Prc関係を考えると、（直円錐は固定円の直径の2点に
接した状態で、固定円の平面との交線は固定円内の楕円である。）
一方、Poの立体角とPrcの立体角は同一であるので、Prcと固定円とが作る
楕円錐体の立体角は、Poの立体角より大きいことになる。したがって、
立体角を一定にするためにはPxはPrcより固定円の中心から遠い点であることが分かる。

（3）したがって、Pxは直上は固定円を含む球面の点であるが、
その他の点はその球面より膨らんだ形状に成っている。
（そこで、東京ドームを想定しました）

さて、東京ドームになるかどうかわからずに球面ではないかという想像の元に
どのような道を進んでいたかですが、たどり着いてみると、
リーマン幾何学の問題に突き当たっていました。リーマン幾何学では、
平面幾何学の常識が成り立たないことは物の本に書いておりますが、
私の追求した課題では成り立つのではないかと思っていたのです。

途中を省略しますが、次の課題が解けないかと思っていたのです。

平面三角形の場合次が成り立つのは、中学校の幾何学で習っております。
平面三角形である2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、その長さは半分である。

これが、球面に作った三角形の場合、同様にならないか？と考えようとしました。
（三角形の辺は球の大円上にあるものとします。）結論は、うまくいきません。
いろいろ検証しようと試みましたがダメでした。
（無論、ダメであるのが当然というのが神が示している真理でした。
神に逆らっていたのでした。数学の神様か、知りませんけど懺悔します。）

雑談：
さて、前回に出した問題、1次元での円とは、どんなものなのか？ということですが、
答えは簡単です。
円の定義に戻り、円の定義を2次元ということを除くと次のように成ります。
円とはある点を中心とし、距離が一定（これを半径）な点の集合である。ということですので、

1次元では、点Pを数直線状で取ったきに距離が等しい2つの点が円です。
この場合、点の集合の数は2個しかありませんが、円の定義に当てはまります。
ふざけるなというかもしれませんが、定義は定義です。
では、方程式はというと

X**2＝R**2
とあらわされることになります。
｜X｜＝｜R｜と表現しても良いですが、
円を平方の形式で表現しているとすれば、上の式にすべきです。
（むろん、ベクトル空間の表現を行えば同一に成りますが）

今回はこれでお終いです。